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Das Wulffsche Netz
 
 
In der Kristallographie benutzt man das Wulffsche Netz (benannt nach dem Kristallograph George V. Wulff, 1863–1925) zur Beschreibung der Kristallmorphologie, da es winkeltreu ist. Mit dessen Hilfe ist es möglich, den Kristall mit den gemessenen Winkeln als geometrisches Gebilde zu konstruieren. So kann man mit Hilfe der stereographischen Projektion die Winkel, Flächen und Kanten, ebenso wie die Symmetrie übersichtlich darstellen. Die stereografische Projektion mithilfe des winkeltreuen Wulffschen Netzes ermöglicht (Abb. 21), gemäß dem Gesetz der Winkelkonstanz für Kristallflächen, eine verzerrungsfreie Darstellung des Kristalls.
 
In der Kristallographie benutzt man das Wulffsche Netz (benannt nach dem Kristallograph George V. Wulff, 1863–1925) zur Beschreibung der Kristallmorphologie, da es winkeltreu ist. Mit dessen Hilfe ist es möglich, den Kristall mit den gemessenen Winkeln als geometrisches Gebilde zu konstruieren. So kann man mit Hilfe der stereographischen Projektion die Winkel, Flächen und Kanten, ebenso wie die Symmetrie übersichtlich darstellen. Die stereografische Projektion mithilfe des winkeltreuen Wulffschen Netzes ermöglicht (Abb. 21), gemäß dem Gesetz der Winkelkonstanz für Kristallflächen, eine verzerrungsfreie Darstellung des Kristalls.
So erleichtert die Anwendung eines Gradnetzes den Umgang mit der stereographischen Projektion. Man dreht eine Kugel mit Längen- und Breitenkreisen so, dass die Achse Zenit-Nadir in der Projektionsebene liegt und dann die Längen- und Breitenkreise auf die Projektionsebene projiziert werden. Die N-S-Richtung der stereographischen Projektion steht also senkrecht auf der N‘-S‘-Richtung des Gradnetzglobus bzw. des Wulffschen Netzes (vgl. Abb. 4 und 5)
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So erleichtert die Anwendung eines Gradnetzes den Umgang mit der stereographischen Projektion. Man dreht eine Kugel mit Längen- und Breitenkreisen so, dass die Achse Zenit-Nadir in der Projektionsebene liegt und dann die Längen- und Breitenkreise auf die Projektionsebene projiziert werden. Die Zenit-Nadir-Richtung der stereographischen Projektion steht also senkrecht auf der N‘-S‘-Richtung des Gradnetzglobus bzw. des Wulffschen Netzes (vgl. Abb. 4 und 5)
  
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz02.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
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[[Datei:Wulffnet1.svg|rahmenlos|rand|512x500px|zentriert]]
Abbildung 21: Winkeltreues Wulffsches Netz (Joshuardavis, 2020)
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Abbildung 1: Winkeltreues Wulffsches Netz (Joshuardavis, 2020)
 
Die Längenkreise entsprechen hier den Großkreisen, auf welchen die Zonenverbände eingetragen werden können. Die Breitenkreise (Kleinkreise) mit Ausnahme des Äquators sind aber keine Großkreise.  
 
Die Längenkreise entsprechen hier den Großkreisen, auf welchen die Zonenverbände eingetragen werden können. Die Breitenkreise (Kleinkreise) mit Ausnahme des Äquators sind aber keine Großkreise.  
  
Abbildung 22: Galenitkristall im Zentrum einer Kugel. Die Flächennormalen des Kristalls schneiden die Kugeloberfläche in Flächenpolen, die auf Großkreisen liegen (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
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<html><div class="sketchfab-embed-wrapper"> <iframe title="Galenitkristall im Zentrum einer Kugel" frameborder="0" allowfullscreen mozallowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" allow="autoplay; fullscreen; xr-spatial-tracking" xr-spatial-tracking execution-while-out-of-viewport execution-while-not-rendered web-share width="640" height="480" align="center" src="https://sketchfab.com/models/017f7c011bc145bc91645dc1a9fdfdf7/embed"> </iframe> <p style="font-size: 13px; font-weight: normal; margin: 5px; color: #4A4A4A;"> <a href="https://sketchfab.com/3d-models/galenitkristall-im-zentrum-einer-kugel-017f7c011bc145bc91645dc1a9fdfdf7?utm_medium=embed&utm_campaign=share-popup&utm_content=017f7c011bc145bc91645dc1a9fdfdf7" target="_blank" style="font-weight: bold; color: #1CAAD9;"> Galenitkristall im Zentrum einer Kugel </a> by <a href="https://sketchfab.com/studioviersieben?utm_medium=embed&utm_campaign=share-popup&utm_content=017f7c011bc145bc91645dc1a9fdfdf7" target="_blank" style="font-weight: bold; color: #1CAAD9;"> studioviersieben </a> on <a href="https://sketchfab.com?utm_medium=embed&utm_campaign=share-popup&utm_content=017f7c011bc145bc91645dc1a9fdfdf7" target="_blank" style="font-weight: bold; color: #1CAAD9;">Sketchfab</a></p></div></html><p></p>
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[[Datei:Galenitkristall.jpg|rahmenlos|rand|500x500px|zentriert]]
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Animation und Abbildung 2: Galenitkristall im Zentrum einer Kugel. Die Flächennormalen des Kristalls schneiden die Kugeloberfläche in Flächenpolen, die auf Großkreisen liegen (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
  
  
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[[Datei:StereoProjGradnetz.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
Abbildung 23: Stereographische Projektion des Gradnetzes eines Globus (N‘-S‘ steht senkrecht zu N-S) erzeugt das Wulffsche Netz. Lage der Winkelkoordinaten φ (Azimut) und ρ (Poldistanz). Der Flächenpol P liegt auf φ = 90°, ρ=30° (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
  
In Abbildung 5a) ist das Gradnetz einer Halbkugel berücksichtigt. Hier sind alle Längenkreise und der Äquator der Kugel Großkreise. Sämtliche Breitenkreise außer dem Äquator der Kugel sind Kleinkreise. Daher kann der Winkel zwischen 2 Flächenpolen auf der Kugeloberfläche mithilfe des Wulffschen Netzes direkt in die stereographische Projektion eingetragen werden. Dabei entspricht der zwischen 2 Kristallflächen gemessene Winkel, dem Winkel der beiden Flächennormalen (Flächenpolen). So bilden die beiden Normalen die Ebene eines Großkreises (Abb. 4). Der gemessenen Winkelwert (gemessen zum Beispiel mit dem Goniometer) entspricht dem Kreisbogen des Großkreises zwischen den beiden Flächennormalen. In der stereographischen Projektion dürfen deshalb die Winkel nur auf Großkreisen abgetragen/abgelesen werden.  
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Abbildung 3: Stereographische Projektion des Gradnetzes eines Globus (N‘-S‘ steht senkrecht zu N-S) erzeugt das Wulffsche Netz. Lage der Winkelkoordinaten φ (Azimut) und ρ (Poldistanz). Der Flächenpol P liegt auf φ = 90°, ρ=30° (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion.
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In Abbildung 3a) ist das Gradnetz einer Halbkugel berücksichtigt. Hier sind alle Längenkreise und der Äquator der Kugel Großkreise. Sämtliche Breitenkreise außer dem Äquator der Kugel sind Kleinkreise. Daher kann der Winkel zwischen 2 Flächenpolen auf der Kugeloberfläche mithilfe des Wulffschen Netzes direkt in die stereographische Projektion eingetragen werden. Dabei entspricht der zwischen 2 Kristallflächen gemessene Winkel, dem Winkel der beiden Flächennormalen (Flächenpole). So bilden die beiden Normalen die Ebene eines Großkreises (Abb. 3a). Der gemessenen Winkelwert (gemessen zum Beispiel mit dem Goniometer) entspricht dem Kreisbogen des Großkreises zwischen den beiden Flächennormalen. In der stereographischen Projektion dürfen deshalb die Winkel nur auf Großkreisen abgetragen/abgelesen werden (Abb. 3b).  
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==Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion==
  
 
Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben. So wählt man den Kreis der Ebene der stereographischen Projektion als Azimut φ. Die φ-Werte reichen von 0° - 360°. Demnach hat die nach vorne weisende Fläche der tetragonalen Pyramide einen φ-Wert von 90°. Der ρ-Kreis steht also senkrecht auf dem φ-Kreis. So ergeben sich für die Flächen der tetragonalen Pyramide folgende Winkelkoordinaten: φ = 0°, 90°, 180°, 270° und für alle Flächen den gleichen ρ-Wert.
 
Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben. So wählt man den Kreis der Ebene der stereographischen Projektion als Azimut φ. Die φ-Werte reichen von 0° - 360°. Demnach hat die nach vorne weisende Fläche der tetragonalen Pyramide einen φ-Wert von 90°. Der ρ-Kreis steht also senkrecht auf dem φ-Kreis. So ergeben sich für die Flächen der tetragonalen Pyramide folgende Winkelkoordinaten: φ = 0°, 90°, 180°, 270° und für alle Flächen den gleichen ρ-Wert.
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Abbildung 24: Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion. Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
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[[Datei:TetragonalerPyramideundPedion.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
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Abbildung 4: Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion. Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
  
 
Bei Betrachtung einer tetragonalen Dipyramide liegen folgende Werte für die Winkelkoordinaten der 8 Flächen vor:  wie oben φ = 0°, 90°, 180°, 270° und ρ und -ρ.
 
Bei Betrachtung einer tetragonalen Dipyramide liegen folgende Werte für die Winkelkoordinaten der 8 Flächen vor:  wie oben φ = 0°, 90°, 180°, 270° und ρ und -ρ.
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Gezeichnet wird analog zu dem Schmidt’schen Netz mit Hilfe von Transparenzpapier. Aber im Gegensatz zum Schmidt’schen Netz zeichnet man hier auf der oberen Hälfte der Kugel.
 
Gezeichnet wird analog zu dem Schmidt’schen Netz mit Hilfe von Transparenzpapier. Aber im Gegensatz zum Schmidt’schen Netz zeichnet man hier auf der oberen Hälfte der Kugel.
  
Bei der stereographische Projektion gibt es zwei wichtige Eigenschaften:
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===Bei der stereographische Projektion gibt es wichtige Eigenschaften===
  
 
Zwei Richtungen der stereographischen Projektion auf der Kugel schließen denselben Winkel, wie eben diese Richtungen auf der Kugel ein. Sie ist daher winkeltreu. Die Längen- und Breitenkreise des Globusnetzes stehen zueinander senkrecht. Die Groß- und Kleinkreise des Wulff ’schen Netzes müssen senkrecht aufeinander stehen, da das Wulffsche Netz die Projektion dieser Kreise darstellt (vgl. Abb. 5).  
 
Zwei Richtungen der stereographischen Projektion auf der Kugel schließen denselben Winkel, wie eben diese Richtungen auf der Kugel ein. Sie ist daher winkeltreu. Die Längen- und Breitenkreise des Globusnetzes stehen zueinander senkrecht. Die Groß- und Kleinkreise des Wulff ’schen Netzes müssen senkrecht aufeinander stehen, da das Wulffsche Netz die Projektion dieser Kreise darstellt (vgl. Abb. 5).  
Die Kreise auf der Kugel (Groß- und Kleinkreise) werden wieder als Kreise oder Kreisbögen auf die Äquatorebene projiziert (vgl. auch Abb. 7). Als Geraden werden die Großkreise abgebildet, die die N-S-Richtung schneiden. Die stereographische Projektion ist somit auch kreistreu (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).  
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Die Kreise auf der Kugel (Groß- und Kleinkreise) werden wieder als Kreise oder Kreisbögen auf die Äquatorebene projiziert (vgl. auch Abb. 6). Als Geraden werden die Großkreise abgebildet, die die Zenit-Nadir-Richtung schneiden. Die stereographische Projektion ist somit auch kreistreu (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).  
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[[Datei:KreisesaufderKugeloberfläche.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
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Abbildung 5: Die stereographische Projektion eines Kreises auf der Kugeloberfläche erzeugt auf der Äquatorebene wieder einen Kreis (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
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Die weitere Eigenschaft, dass die Mittelpunkte der Kreise nicht als Mittelpunkte projiziert werden, kann man mit folgender Überlegung belegen. Man nehme einen Kreis auf der Kugeloberfläche mit einem Radius von 30°, nimmt das Wulffsche Netz und legt einen Pol M fest. Dann konstruiert man den geometrischen Ort für alle die Pole, die von M 30° entfernt sind. Durch Drehung des Transparentpapiers werden auf den Großkreisen von M aus die Winkel von 30° abgetragen. Die so konstruierten Pole kommen alle auf der Peripherie eines Kreises zu liegen. Allerdings ist M nicht der Mittelpunkt dieses Kreises, den Kreismittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch eine Halbierung der Strecke K1K2 (vgl. Abb.6)
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[[Datei:AusschnittderÄquatorebene.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
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Abbildung 6: Ausschnitt der Äquatorebene einer stereographischen Projektion. Vom Pol M sind Winkel von 30° abgetragen. Die konstruierten Pole liegen auf der Peripherie eines Kreises. Den Mittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch Halbierung der Strecke K1K2 (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
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===Zeichnen einer Fläche mit dem Wulffschen Netz===
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Die folgenden Abbildungen beschreiben, wie man eine Fläche mit dem Wulffschen Netz zeichnet (van Well, 2020):
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<gallery mode="slideshow" heights="200px">
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File:Fläche mit Wulff Netz00.svg|Abbildung 7: Angabe der Koordinaten
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File:Fläche mit Wulff Netz01.svg|Abbildung 8: das leere Wulffsche Netz mit Transparentpapier
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File:Fläche mit Wulff Netz02.svg|Abbildung 9: Festlegen von φ = 0°
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File:Fläche mit Wulff Netz03.svg|Abbildung 10: Markieren von φ = 30°
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File:Fläche mit Wulff Netz04.svg|Abbildung 11: Drehen von φ zum Äquator
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File:Fläche mit Wulff Netz05.svg|Abbildung 12: ρ = 60° eintragen (Vom Kreismittelpunkt nach außen abzählen)
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File:Fläche mit Wulff Netz06.svg|Abbildung 13: Drehen der Oleate auf φ = 0°
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File:Fläche mit Wulff Netz07.svg|Abbildung 14: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher
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File:Fläche mit Wulff Netz08.svg|Abbildung 15: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher
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File:Fläche mit Wulff Netz09.svg|Abbildung 16: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher
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File:Fläche mit Wulff Netz10.svg|Abbildung 17: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher
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File:Fläche mit Wulff Netz11.svg|Abbildung 18: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher
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File:Fläche mit Wulff Netz12.svg|Abbildung 19: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher
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File:Fläche mit Wulff Netz13.svg|Abbildung 20: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher, aber Achtung: 110° => 90° von innen nach außen und dann 20° von außen nach innen (ρ=110° = 90°+20°)
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File:Fläche mit Wulff Netz14.svg|Abbildung 21: Zurückdrehen auf 0° und markieren der Flächenpole, Punkt C liegt auf der Rückseite des Kreises. A, B, C = Flächenpole
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File:Fläche mit Wulff Netz15.svg|Abbildung 22: Drehen bis A, B auf einem Großkreis liegen
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File:Fläche mit Wulff Netz16.svg|Abbildung 23: Verbinden der Punkte AB. Winkel γ = rotieren bis A, B auf einem Kreis zur Deckung kommen, Distanz dazwischen ablesen = 65°, Linie verbinden
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File:Fläche mit Wulff Netz17.svg|Abbildung 24: Drehen bis B, C auf einem Großkreis liegen. C wird gestrichelt dargestellt, da auf der Rückseite, analog für A, C. Winkel β = rotieren bis A, C auf einem Kreis zur Deckung kommen, Distanz dazwischen ablesen = 105, (84° oben, 21° unten), Linie verbinden
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File:Fläche mit Wulff Netz18.svg|Abbildung 25: Alle Flächen sind verbunden, gestrichelte Linien laufen auf der Rückseite. Winkel β = rotieren bis Α, C auf einem Kreis zur Deckung kommen, Distanz dazwischen ablesen = 53°, (32° oben, 21° unten), Linie verbinden
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File:Fläche mit Wulff Netz19.svg|Abbildung 26: Zurückdrehen auf 0° zeigt die Lage im Raum
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File:Fläche mit Wulff Netz20.svg|Abbildung 27: Darstellung der Fläche in 2 D
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File:Fläche mit Wulff Netz21.svg|Abbildung 28: Darstellung ähnlicher Fläche in 3 D
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</gallery>
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===Darstellung einer ähnlicher Fläche in 3D===
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<html><div class="sketchfab-embed-wrapper">
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    <iframe title="Projektion einer Fläche auf der Kugeloberfläche" width="600" height="400" frameborder="0" allowfullscreen mozallowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" allow="fullscreen; autoplay; vr" xr-spatial-tracking execution-while-out-of-viewport execution-while-not-rendered web-share src="https://sketchfab.com/models/d488434a19a14f478bd5dd70633daa14/embed">
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    </iframe>
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  <p style="font-size: 13px; font-weight: normal; margin: 5px; color: #4A4A4A;">
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        <a href="https://sketchfab.com/3d-models/projektion-einer-flache-auf-der-kugeloberflache-d488434a19a14f478bd5dd70633daa14?utm_medium=embed&utm_campaign=share-popup&utm_content=d488434a19a14f478bd5dd70633daa14" target="_blank" style="font-weight: bold; color: #1CAAD9;">Projektion einer Fläche auf der Kugeloberfläche</a>
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        by <a href="https://sketchfab.com/studioviersieben?utm_medium=embed&utm_campaign=share-popup&utm_content=d488434a19a14f478bd5dd70633daa14" target="_blank" style="font-weight: bold; color: #1CAAD9;">studioviersieben</a>
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        on <a href="https://sketchfab.com?utm_medium=embed&utm_campaign=share-popup&utm_content=d488434a19a14f478bd5dd70633daa14" target="_blank" style="font-weight: bold; color: #1CAAD9;">Sketchfab</a>
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    </p>
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</div></html>
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#Weiter gehts mit den stereographischen Projektion... [[Stereographische_Projektionen_(Stereonetze)]]
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#Weiter gehts mit dem Schmidtschen Netz... [[Schmidtsche_Netz]]
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#Weiter gehts mit dem Wulffschen Netz... [[Das_Wulffsche_Netz]]
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==Weiterführende Literatur==
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[https://opac.ub.uni-muenchen.de/TouchPoint/perma.do?q=-1+%3D+%22Kristallographie+-+Eine+Einf%C3%BChrung+f%C3%BCr+Studierende+der+Naturwissenschaften%2C+Kristallographie%22+IN+%5B2%5D&v=sunrise&l=de%7C| Borchardt-Ott, W. and Sowa, H. (2018) ''Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie'']<br>
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Joshuardavis, W.  File:Wulffnet.svg - Wikimedia Commons. Available at: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wulffnet.svg (Accessed: 17 March 2021).<br>
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Well, N. van (2020) Allgemeine Mineralogie. doi: 10.1524/zkri.1956.107.3.240.<br>
  
 
Abbildung 25: Die stereographische Projektion eines Kreises auf der Kugeloberfläche erzeugt auf der Äquatorebene wieder einen Kreis (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
Die 2 Eigenschaft kann man mit folgender Überlegung belegen. Man nehme einen Kreis auf der Kugeloberfläche mit einem Radius von 30°, nimmt das Wulffsche Netz und legt einen Pol M fest. Dann konstruiert man den geometrischen Ort für alle die Pole, die von M 30° entfernt sind. Durch Drehung des Transparentpapiers werden auf den Großkreisen von M aus die Winkel von 30° abgetragen. Die so konstruierten Pole kommen alle auf der Peripherie eines Kreises zu liegen. Allerdings ist M nicht der Mittelpunkt dieses Kreises, den Kreismittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch eine Halbierung der Strecke K1K2 (vgl. Abb.8)
 
 
Abbildung 26: Ausschnitt der Äquatorebene einer stereographischen Projektion. Vom Pol M sind Winkel von 30° abgetragen. Die konstruierten Pole liegen auf der Peripherie eines Kreises. Den Mittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch Halbierung der Strecke K1K2 (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
Quellen Borchardt-Ott, Sowa, H. (2018) Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie. doi: 10.1007/978-3-662-08225-6_13.
 
  
Zeichnen einer Fläche mit dem Wulffschen Netz
 
Die Folgenden Abbildungen beschreiben, wie man eine Fläche mit dem Wulffschen Netz zeichnet (Well, 2020):
 
  
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz00.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
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Abbildung 27: Angabe der Koordinaten
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz01.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 28: das leere Wulffsche Netz mit Transparentpapier
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz02.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 29: Festlegen von φ = 0°
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz03.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 30: Markieren von φ = 30°
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz04.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 31: Drehen von φ zum Äquator
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz05.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 32: ρ = 60° eintragen (Vom Kreismittelpunkt nach außen abzählen)
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz06.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 33: Drehen der Oleate auf φ = 0°
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz07.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 34: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz08.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 35: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz09.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 36: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz10.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 37: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz11.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 38: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz12.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 39: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz13.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 40: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher, aber Achtung: 110° => 90° von innen nach außen und dann 20° von außen nach innen
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz14.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 41: Zurückdrehen auf 0° und markieren der Flächenpole, Punkt C liegt auf der Rückseite des Kreises
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz15.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 42: Drehen bis A, B auf einem Großkreis liegen
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz16.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 43: Verbinden der Punkte AB
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz17.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 44: Drehen bis B, C auf einem Großkreis liegen. C wird gestrichelt dargestellt, da auf der Rückseite, analog für A, C
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz18.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 45: Alle Flächen sind verbunden, gestrichelte Linien laufen auf der Rückseite
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz19.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 46: Zurückdrehen auf 0° zeigt die Lage im Raum
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz20.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 47: Darstellung der Fläche in 2 D
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz21.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Abbildung 48: Darstellung ähnlicher Fläche in 3 D
 
[[Datei:Fläche mit Wulff Netz22.svg|rahmenlos|rand|center|512x500px|]]
 
Quellen:
 
  
Borchardt-Ott, W. and Sowa, H. (2018) Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie. doi: 10.1007/978-3-662-08225-6_13.
+
==Autor:innen==
Joshuardavis, W. (no date) File:Wulffnet.svg - Wikimedia Commons. Available at: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wulffnet.svg (Accessed: 17 March 2021).
+
{{Autor|1=Wolfgang Stoiber, Donjá Aßbichler}}
Reuther, C.-D. (2012) Grundlagen der Tektonik, Grundlagen der Tektonik. doi: 10.1007/978-3-8274-2724-3.
+
{{DEFAULTSORT:Schmidtsche Netz}}
Well, N. van (2020) Allgemeine Mineralogie. doi: 10.1524/zkri.1956.107.3.240.
 

Aktuelle Version vom 19. September 2021, 22:23 Uhr

In der Kristallographie benutzt man das Wulffsche Netz (benannt nach dem Kristallograph George V. Wulff, 1863–1925) zur Beschreibung der Kristallmorphologie, da es winkeltreu ist. Mit dessen Hilfe ist es möglich, den Kristall mit den gemessenen Winkeln als geometrisches Gebilde zu konstruieren. So kann man mit Hilfe der stereographischen Projektion die Winkel, Flächen und Kanten, ebenso wie die Symmetrie übersichtlich darstellen. Die stereografische Projektion mithilfe des winkeltreuen Wulffschen Netzes ermöglicht (Abb. 21), gemäß dem Gesetz der Winkelkonstanz für Kristallflächen, eine verzerrungsfreie Darstellung des Kristalls. So erleichtert die Anwendung eines Gradnetzes den Umgang mit der stereographischen Projektion. Man dreht eine Kugel mit Längen- und Breitenkreisen so, dass die Achse Zenit-Nadir in der Projektionsebene liegt und dann die Längen- und Breitenkreise auf die Projektionsebene projiziert werden. Die Zenit-Nadir-Richtung der stereographischen Projektion steht also senkrecht auf der N‘-S‘-Richtung des Gradnetzglobus bzw. des Wulffschen Netzes (vgl. Abb. 4 und 5)

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Abbildung 1: Winkeltreues Wulffsches Netz (Joshuardavis, 2020) Die Längenkreise entsprechen hier den Großkreisen, auf welchen die Zonenverbände eingetragen werden können. Die Breitenkreise (Kleinkreise) mit Ausnahme des Äquators sind aber keine Großkreise.

Galenitkristall.jpg

Animation und Abbildung 2: Galenitkristall im Zentrum einer Kugel. Die Flächennormalen des Kristalls schneiden die Kugeloberfläche in Flächenpolen, die auf Großkreisen liegen (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).


StereoProjGradnetz.svg

Abbildung 3: Stereographische Projektion des Gradnetzes eines Globus (N‘-S‘ steht senkrecht zu N-S) erzeugt das Wulffsche Netz. Lage der Winkelkoordinaten φ (Azimut) und ρ (Poldistanz). Der Flächenpol P liegt auf φ = 90°, ρ=30° (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

In Abbildung 3a) ist das Gradnetz einer Halbkugel berücksichtigt. Hier sind alle Längenkreise und der Äquator der Kugel Großkreise. Sämtliche Breitenkreise außer dem Äquator der Kugel sind Kleinkreise. Daher kann der Winkel zwischen 2 Flächenpolen auf der Kugeloberfläche mithilfe des Wulffschen Netzes direkt in die stereographische Projektion eingetragen werden. Dabei entspricht der zwischen 2 Kristallflächen gemessene Winkel, dem Winkel der beiden Flächennormalen (Flächenpole). So bilden die beiden Normalen die Ebene eines Großkreises (Abb. 3a). Der gemessenen Winkelwert (gemessen zum Beispiel mit dem Goniometer) entspricht dem Kreisbogen des Großkreises zwischen den beiden Flächennormalen. In der stereographischen Projektion dürfen deshalb die Winkel nur auf Großkreisen abgetragen/abgelesen werden (Abb. 3b).

Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion

Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben. So wählt man den Kreis der Ebene der stereographischen Projektion als Azimut φ. Die φ-Werte reichen von 0° - 360°. Demnach hat die nach vorne weisende Fläche der tetragonalen Pyramide einen φ-Wert von 90°. Der ρ-Kreis steht also senkrecht auf dem φ-Kreis. So ergeben sich für die Flächen der tetragonalen Pyramide folgende Winkelkoordinaten: φ = 0°, 90°, 180°, 270° und für alle Flächen den gleichen ρ-Wert.

TetragonalerPyramideundPedion.svg

Abbildung 4: Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion. Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

Bei Betrachtung einer tetragonalen Dipyramide liegen folgende Werte für die Winkelkoordinaten der 8 Flächen vor: wie oben φ = 0°, 90°, 180°, 270° und ρ und -ρ.

Bei den zur Nordhalbkugel gehörenden Flächen bezieht man sich bei der Poldistanz ρ auf den Nordpol, bei den Flächen der Südhalbkugel auf den Südpol (-ρ); ρ≤ ±90° (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

Gezeichnet wird analog zu dem Schmidt’schen Netz mit Hilfe von Transparenzpapier. Aber im Gegensatz zum Schmidt’schen Netz zeichnet man hier auf der oberen Hälfte der Kugel.

Bei der stereographische Projektion gibt es wichtige Eigenschaften

Zwei Richtungen der stereographischen Projektion auf der Kugel schließen denselben Winkel, wie eben diese Richtungen auf der Kugel ein. Sie ist daher winkeltreu. Die Längen- und Breitenkreise des Globusnetzes stehen zueinander senkrecht. Die Groß- und Kleinkreise des Wulff ’schen Netzes müssen senkrecht aufeinander stehen, da das Wulffsche Netz die Projektion dieser Kreise darstellt (vgl. Abb. 5). Die Kreise auf der Kugel (Groß- und Kleinkreise) werden wieder als Kreise oder Kreisbögen auf die Äquatorebene projiziert (vgl. auch Abb. 6). Als Geraden werden die Großkreise abgebildet, die die Zenit-Nadir-Richtung schneiden. Die stereographische Projektion ist somit auch kreistreu (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).


KreisesaufderKugeloberfläche.svg

Abbildung 5: Die stereographische Projektion eines Kreises auf der Kugeloberfläche erzeugt auf der Äquatorebene wieder einen Kreis (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

Die weitere Eigenschaft, dass die Mittelpunkte der Kreise nicht als Mittelpunkte projiziert werden, kann man mit folgender Überlegung belegen. Man nehme einen Kreis auf der Kugeloberfläche mit einem Radius von 30°, nimmt das Wulffsche Netz und legt einen Pol M fest. Dann konstruiert man den geometrischen Ort für alle die Pole, die von M 30° entfernt sind. Durch Drehung des Transparentpapiers werden auf den Großkreisen von M aus die Winkel von 30° abgetragen. Die so konstruierten Pole kommen alle auf der Peripherie eines Kreises zu liegen. Allerdings ist M nicht der Mittelpunkt dieses Kreises, den Kreismittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch eine Halbierung der Strecke K1K2 (vgl. Abb.6)

AusschnittderÄquatorebene.svg

Abbildung 6: Ausschnitt der Äquatorebene einer stereographischen Projektion. Vom Pol M sind Winkel von 30° abgetragen. Die konstruierten Pole liegen auf der Peripherie eines Kreises. Den Mittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch Halbierung der Strecke K1K2 (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

Zeichnen einer Fläche mit dem Wulffschen Netz

Die folgenden Abbildungen beschreiben, wie man eine Fläche mit dem Wulffschen Netz zeichnet (van Well, 2020): (auf die Pfeile klicken)

Darstellung einer ähnlicher Fläche in 3D


  1. Weiter gehts mit den stereographischen Projektion... Stereographische_Projektionen_(Stereonetze)
  2. Weiter gehts mit dem Schmidtschen Netz... Schmidtsche_Netz
  3. Weiter gehts mit dem Wulffschen Netz... Das_Wulffsche_Netz

Weiterführende Literatur

Borchardt-Ott, W. and Sowa, H. (2018) Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie
Joshuardavis, W. File:Wulffnet.svg - Wikimedia Commons. Available at: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wulffnet.svg (Accessed: 17 March 2021).
Well, N. van (2020) Allgemeine Mineralogie. doi: 10.1524/zkri.1956.107.3.240.



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Dieser Artikel wurde geschrieben und gegengelesen von:
Wolfgang Stoiber, Donjá Aßbichler
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