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Das Wulffsche Netz
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In der Kristallographie benutzt man das Wulffsche Netz (benannt nach dem Kristallograph George V. Wulff, 1863–1925) zur Beschreibung der Kristallmorphologie, da es winkeltreu ist. Mit dessen Hilfe ist es möglich, den Kristall mit den gemessenen Winkeln als geometrisches Gebilde zu konstruieren. So kann man mit Hilfe der stereographischen Projektion die Winkel, Flächen und Kanten, ebenso wie die Symmetrie übersichtlich darstellen. Die stereografische Projektion mithilfe des winkeltreuen Wulffschen Netzes ermöglicht (Abb. 21), gemäß dem Gesetz der Winkelkonstanz für Kristallflächen, eine verzerrungsfreie Darstellung des Kristalls.
 
In der Kristallographie benutzt man das Wulffsche Netz (benannt nach dem Kristallograph George V. Wulff, 1863–1925) zur Beschreibung der Kristallmorphologie, da es winkeltreu ist. Mit dessen Hilfe ist es möglich, den Kristall mit den gemessenen Winkeln als geometrisches Gebilde zu konstruieren. So kann man mit Hilfe der stereographischen Projektion die Winkel, Flächen und Kanten, ebenso wie die Symmetrie übersichtlich darstellen. Die stereografische Projektion mithilfe des winkeltreuen Wulffschen Netzes ermöglicht (Abb. 21), gemäß dem Gesetz der Winkelkonstanz für Kristallflächen, eine verzerrungsfreie Darstellung des Kristalls.
 
So erleichtert die Anwendung eines Gradnetzes den Umgang mit der stereographischen Projektion. Man dreht eine Kugel mit Längen- und Breitenkreisen so, dass die Achse Zenit-Nadir in der Projektionsebene liegt und dann die Längen- und Breitenkreise auf die Projektionsebene projiziert werden. Die N-S-Richtung der stereographischen Projektion steht also senkrecht auf der N‘-S‘-Richtung des Gradnetzglobus bzw. des Wulffschen Netzes (vgl. Abb. 4 und 5)
 
So erleichtert die Anwendung eines Gradnetzes den Umgang mit der stereographischen Projektion. Man dreht eine Kugel mit Längen- und Breitenkreisen so, dass die Achse Zenit-Nadir in der Projektionsebene liegt und dann die Längen- und Breitenkreise auf die Projektionsebene projiziert werden. Die N-S-Richtung der stereographischen Projektion steht also senkrecht auf der N‘-S‘-Richtung des Gradnetzglobus bzw. des Wulffschen Netzes (vgl. Abb. 4 und 5)
  
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Abbildung 21: Winkeltreues Wulffsches Netz (Joshuardavis, 2020)
 
Abbildung 21: Winkeltreues Wulffsches Netz (Joshuardavis, 2020)
 
Die Längenkreise entsprechen hier den Großkreisen, auf welchen die Zonenverbände eingetragen werden können. Die Breitenkreise (Kleinkreise) mit Ausnahme des Äquators sind aber keine Großkreise.  
 
Die Längenkreise entsprechen hier den Großkreisen, auf welchen die Zonenverbände eingetragen werden können. Die Breitenkreise (Kleinkreise) mit Ausnahme des Äquators sind aber keine Großkreise.  
 
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Abbildung 22: Galenitkristall im Zentrum einer Kugel. Die Flächennormalen des Kristalls schneiden die Kugeloberfläche in Flächenpolen, die auf Großkreisen liegen (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
Abbildung 22: Galenitkristall im Zentrum einer Kugel. Die Flächennormalen des Kristalls schneiden die Kugeloberfläche in Flächenpolen, die auf Großkreisen liegen (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
  
  
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Abbildung 23: Stereographische Projektion des Gradnetzes eines Globus (N‘-S‘ steht senkrecht zu N-S) erzeugt das Wulffsche Netz. Lage der Winkelkoordinaten φ (Azimut) und ρ (Poldistanz). Der Flächenpol P liegt auf φ = 90°, ρ=30° (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
Abbildung 23: Stereographische Projektion des Gradnetzes eines Globus (N‘-S‘ steht senkrecht zu N-S) erzeugt das Wulffsche Netz. Lage der Winkelkoordinaten φ (Azimut) und ρ (Poldistanz). Der Flächenpol P liegt auf φ = 90°, ρ=30° (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
  
 
In Abbildung 5a) ist das Gradnetz einer Halbkugel berücksichtigt. Hier sind alle Längenkreise und der Äquator der Kugel Großkreise. Sämtliche Breitenkreise außer dem Äquator der Kugel sind Kleinkreise. Daher kann der Winkel zwischen 2 Flächenpolen auf der Kugeloberfläche mithilfe des Wulffschen Netzes direkt in die stereographische Projektion eingetragen werden. Dabei entspricht der zwischen 2 Kristallflächen gemessene Winkel, dem Winkel der beiden Flächennormalen (Flächenpolen). So bilden die beiden Normalen die Ebene eines Großkreises (Abb. 4). Der gemessenen Winkelwert (gemessen zum Beispiel mit dem Goniometer) entspricht dem Kreisbogen des Großkreises zwischen den beiden Flächennormalen. In der stereographischen Projektion dürfen deshalb die Winkel nur auf Großkreisen abgetragen/abgelesen werden.  
 
In Abbildung 5a) ist das Gradnetz einer Halbkugel berücksichtigt. Hier sind alle Längenkreise und der Äquator der Kugel Großkreise. Sämtliche Breitenkreise außer dem Äquator der Kugel sind Kleinkreise. Daher kann der Winkel zwischen 2 Flächenpolen auf der Kugeloberfläche mithilfe des Wulffschen Netzes direkt in die stereographische Projektion eingetragen werden. Dabei entspricht der zwischen 2 Kristallflächen gemessene Winkel, dem Winkel der beiden Flächennormalen (Flächenpolen). So bilden die beiden Normalen die Ebene eines Großkreises (Abb. 4). Der gemessenen Winkelwert (gemessen zum Beispiel mit dem Goniometer) entspricht dem Kreisbogen des Großkreises zwischen den beiden Flächennormalen. In der stereographischen Projektion dürfen deshalb die Winkel nur auf Großkreisen abgetragen/abgelesen werden.  
Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion.  
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== Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion. ==
  
 
Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben. So wählt man den Kreis der Ebene der stereographischen Projektion als Azimut φ. Die φ-Werte reichen von 0° - 360°. Demnach hat die nach vorne weisende Fläche der tetragonalen Pyramide einen φ-Wert von 90°. Der ρ-Kreis steht also senkrecht auf dem φ-Kreis. So ergeben sich für die Flächen der tetragonalen Pyramide folgende Winkelkoordinaten: φ = 0°, 90°, 180°, 270° und für alle Flächen den gleichen ρ-Wert.
 
Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben. So wählt man den Kreis der Ebene der stereographischen Projektion als Azimut φ. Die φ-Werte reichen von 0° - 360°. Demnach hat die nach vorne weisende Fläche der tetragonalen Pyramide einen φ-Wert von 90°. Der ρ-Kreis steht also senkrecht auf dem φ-Kreis. So ergeben sich für die Flächen der tetragonalen Pyramide folgende Winkelkoordinaten: φ = 0°, 90°, 180°, 270° und für alle Flächen den gleichen ρ-Wert.
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Abbildung 24: Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion. Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
Abbildung 24: Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion. Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
  
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Die Kreise auf der Kugel (Groß- und Kleinkreise) werden wieder als Kreise oder Kreisbögen auf die Äquatorebene projiziert (vgl. auch Abb. 7). Als Geraden werden die Großkreise abgebildet, die die N-S-Richtung schneiden. Die stereographische Projektion ist somit auch kreistreu (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).  
 
Die Kreise auf der Kugel (Groß- und Kleinkreise) werden wieder als Kreise oder Kreisbögen auf die Äquatorebene projiziert (vgl. auch Abb. 7). Als Geraden werden die Großkreise abgebildet, die die N-S-Richtung schneiden. Die stereographische Projektion ist somit auch kreistreu (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).  
  
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Abbildung 25: Die stereographische Projektion eines Kreises auf der Kugeloberfläche erzeugt auf der Äquatorebene wieder einen Kreis (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
Abbildung 25: Die stereographische Projektion eines Kreises auf der Kugeloberfläche erzeugt auf der Äquatorebene wieder einen Kreis (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
Die 2 Eigenschaft kann man mit folgender Überlegung belegen. Man nehme einen Kreis auf der Kugeloberfläche mit einem Radius von 30°, nimmt das Wulffsche Netz und legt einen Pol M fest. Dann konstruiert man den geometrischen Ort für alle die Pole, die von M 30° entfernt sind. Durch Drehung des Transparentpapiers werden auf den Großkreisen von M aus die Winkel von 30° abgetragen. Die so konstruierten Pole kommen alle auf der Peripherie eines Kreises zu liegen. Allerdings ist M nicht der Mittelpunkt dieses Kreises, den Kreismittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch eine Halbierung der Strecke K1K2 (vgl. Abb.8)
 
Die 2 Eigenschaft kann man mit folgender Überlegung belegen. Man nehme einen Kreis auf der Kugeloberfläche mit einem Radius von 30°, nimmt das Wulffsche Netz und legt einen Pol M fest. Dann konstruiert man den geometrischen Ort für alle die Pole, die von M 30° entfernt sind. Durch Drehung des Transparentpapiers werden auf den Großkreisen von M aus die Winkel von 30° abgetragen. Die so konstruierten Pole kommen alle auf der Peripherie eines Kreises zu liegen. Allerdings ist M nicht der Mittelpunkt dieses Kreises, den Kreismittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch eine Halbierung der Strecke K1K2 (vgl. Abb.8)
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Abbildung 26: Ausschnitt der Äquatorebene einer stereographischen Projektion. Vom Pol M sind Winkel von 30° abgetragen. Die konstruierten Pole liegen auf der Peripherie eines Kreises. Den Mittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch Halbierung der Strecke K1K2 (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
Abbildung 26: Ausschnitt der Äquatorebene einer stereographischen Projektion. Vom Pol M sind Winkel von 30° abgetragen. Die konstruierten Pole liegen auf der Peripherie eines Kreises. Den Mittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch Halbierung der Strecke K1K2 (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).
 
Quellen Borchardt-Ott, Sowa, H. (2018) Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie. doi: 10.1007/978-3-662-08225-6_13.
 
Quellen Borchardt-Ott, Sowa, H. (2018) Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie. doi: 10.1007/978-3-662-08225-6_13.

Version vom 18. März 2021, 10:59 Uhr