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Das Wulffsche Netz

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Das Wulffsche Netz In der Kristallographie benutzt man das Wulffsche Netz (benannt nach dem Kristallograph George V. Wulff, 1863–1925) zur Beschreibung der Kristallmorphologie, da es winkeltreu ist. Mit dessen Hilfe ist es möglich, den Kristall mit den gemessenen Winkeln als geometrisches Gebilde zu konstruieren. So kann man mit Hilfe der stereographischen Projektion die Winkel, Flächen und Kanten, ebenso wie die Symmetrie übersichtlich darstellen. Die stereografische Projektion mithilfe des winkeltreuen Wulffschen Netzes ermöglicht (Abb. 21), gemäß dem Gesetz der Winkelkonstanz für Kristallflächen, eine verzerrungsfreie Darstellung des Kristalls. So erleichtert die Anwendung eines Gradnetzes den Umgang mit der stereographischen Projektion. Man dreht eine Kugel mit Längen- und Breitenkreisen so, dass die Achse Zenit-Nadir in der Projektionsebene liegt und dann die Längen- und Breitenkreise auf die Projektionsebene projiziert werden. Die N-S-Richtung der stereographischen Projektion steht also senkrecht auf der N‘-S‘-Richtung des Gradnetzglobus bzw. des Wulffschen Netzes (vgl. Abb. 4 und 5)

Fläche mit Wulff Netz02.svg

Abbildung 21: Winkeltreues Wulffsches Netz (Joshuardavis, 2020) Die Längenkreise entsprechen hier den Großkreisen, auf welchen die Zonenverbände eingetragen werden können. Die Breitenkreise (Kleinkreise) mit Ausnahme des Äquators sind aber keine Großkreise.

Abbildung 22: Galenitkristall im Zentrum einer Kugel. Die Flächennormalen des Kristalls schneiden die Kugeloberfläche in Flächenpolen, die auf Großkreisen liegen (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).


Abbildung 23: Stereographische Projektion des Gradnetzes eines Globus (N‘-S‘ steht senkrecht zu N-S) erzeugt das Wulffsche Netz. Lage der Winkelkoordinaten φ (Azimut) und ρ (Poldistanz). Der Flächenpol P liegt auf φ = 90°, ρ=30° (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

In Abbildung 5a) ist das Gradnetz einer Halbkugel berücksichtigt. Hier sind alle Längenkreise und der Äquator der Kugel Großkreise. Sämtliche Breitenkreise außer dem Äquator der Kugel sind Kleinkreise. Daher kann der Winkel zwischen 2 Flächenpolen auf der Kugeloberfläche mithilfe des Wulffschen Netzes direkt in die stereographische Projektion eingetragen werden. Dabei entspricht der zwischen 2 Kristallflächen gemessene Winkel, dem Winkel der beiden Flächennormalen (Flächenpolen). So bilden die beiden Normalen die Ebene eines Großkreises (Abb. 4). Der gemessenen Winkelwert (gemessen zum Beispiel mit dem Goniometer) entspricht dem Kreisbogen des Großkreises zwischen den beiden Flächennormalen. In der stereographischen Projektion dürfen deshalb die Winkel nur auf Großkreisen abgetragen/abgelesen werden. Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion.

Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben. So wählt man den Kreis der Ebene der stereographischen Projektion als Azimut φ. Die φ-Werte reichen von 0° - 360°. Demnach hat die nach vorne weisende Fläche der tetragonalen Pyramide einen φ-Wert von 90°. Der ρ-Kreis steht also senkrecht auf dem φ-Kreis. So ergeben sich für die Flächen der tetragonalen Pyramide folgende Winkelkoordinaten: φ = 0°, 90°, 180°, 270° und für alle Flächen den gleichen ρ-Wert.

Abbildung 24: Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion. Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

Bei Betrachtung einer tetragonalen Dipyramide liegen folgende Werte für die Winkelkoordinaten der 8 Flächen vor: wie oben φ = 0°, 90°, 180°, 270° und ρ und -ρ.

Bei den zur Nordhalbkugel gehörenden Flächen bezieht man sich bei der Poldistanz ρ auf den Nordpol, bei den Flächen der Südhalbkugel auf den Südpol (-ρ); ρ≤ ±90° (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

Gezeichnet wird analog zu dem Schmidt’schen Netz mit Hilfe von Transparenzpapier. Aber im Gegensatz zum Schmidt’schen Netz zeichnet man hier auf der oberen Hälfte der Kugel.

Bei der stereographische Projektion gibt es zwei wichtige Eigenschaften:

Zwei Richtungen der stereographischen Projektion auf der Kugel schließen denselben Winkel, wie eben diese Richtungen auf der Kugel ein. Sie ist daher winkeltreu. Die Längen- und Breitenkreise des Globusnetzes stehen zueinander senkrecht. Die Groß- und Kleinkreise des Wulff ’schen Netzes müssen senkrecht aufeinander stehen, da das Wulffsche Netz die Projektion dieser Kreise darstellt (vgl. Abb. 5). Die Kreise auf der Kugel (Groß- und Kleinkreise) werden wieder als Kreise oder Kreisbögen auf die Äquatorebene projiziert (vgl. auch Abb. 7). Als Geraden werden die Großkreise abgebildet, die die N-S-Richtung schneiden. Die stereographische Projektion ist somit auch kreistreu (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).


Abbildung 25: Die stereographische Projektion eines Kreises auf der Kugeloberfläche erzeugt auf der Äquatorebene wieder einen Kreis (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018). Die 2 Eigenschaft kann man mit folgender Überlegung belegen. Man nehme einen Kreis auf der Kugeloberfläche mit einem Radius von 30°, nimmt das Wulffsche Netz und legt einen Pol M fest. Dann konstruiert man den geometrischen Ort für alle die Pole, die von M 30° entfernt sind. Durch Drehung des Transparentpapiers werden auf den Großkreisen von M aus die Winkel von 30° abgetragen. Die so konstruierten Pole kommen alle auf der Peripherie eines Kreises zu liegen. Allerdings ist M nicht der Mittelpunkt dieses Kreises, den Kreismittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch eine Halbierung der Strecke K1K2 (vgl. Abb.8)

Abbildung 26: Ausschnitt der Äquatorebene einer stereographischen Projektion. Vom Pol M sind Winkel von 30° abgetragen. Die konstruierten Pole liegen auf der Peripherie eines Kreises. Den Mittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch Halbierung der Strecke K1K2 (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018). Quellen Borchardt-Ott, Sowa, H. (2018) Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie. doi: 10.1007/978-3-662-08225-6_13.

Zeichnen einer Fläche mit dem Wulffschen Netz Die Folgenden Abbildungen beschreiben, wie man eine Fläche mit dem Wulffschen Netz zeichnet (Well, 2020):

Fläche mit Wulff Netz00.svg

Abbildung 27: Angabe der Koordinaten

Fläche mit Wulff Netz01.svg

Abbildung 28: das leere Wulffsche Netz mit Transparentpapier

Fläche mit Wulff Netz02.svg

Abbildung 29: Festlegen von φ = 0°

Fläche mit Wulff Netz03.svg

Abbildung 30: Markieren von φ = 30°

Fläche mit Wulff Netz04.svg

Abbildung 31: Drehen von φ zum Äquator

Fläche mit Wulff Netz05.svg

Abbildung 32: ρ = 60° eintragen (Vom Kreismittelpunkt nach außen abzählen)

Fläche mit Wulff Netz06.svg

Abbildung 33: Drehen der Oleate auf φ = 0°

Fläche mit Wulff Netz07.svg

Abbildung 34: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher

Fläche mit Wulff Netz08.svg

Abbildung 35: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher

Fläche mit Wulff Netz09.svg

Abbildung 36: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher

Fläche mit Wulff Netz10.svg

Abbildung 37: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher

Fläche mit Wulff Netz11.svg

Abbildung 38: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher

Fläche mit Wulff Netz12.svg

Abbildung 39: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher

Fläche mit Wulff Netz13.svg

Abbildung 40: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher, aber Achtung: 110° => 90° von innen nach außen und dann 20° von außen nach innen

Fläche mit Wulff Netz14.svg

Abbildung 41: Zurückdrehen auf 0° und markieren der Flächenpole, Punkt C liegt auf der Rückseite des Kreises

Fläche mit Wulff Netz15.svg

Abbildung 42: Drehen bis A, B auf einem Großkreis liegen

Fläche mit Wulff Netz16.svg

Abbildung 43: Verbinden der Punkte AB

Fläche mit Wulff Netz17.svg

Abbildung 44: Drehen bis B, C auf einem Großkreis liegen. C wird gestrichelt dargestellt, da auf der Rückseite, analog für A, C

Fläche mit Wulff Netz18.svg

Abbildung 45: Alle Flächen sind verbunden, gestrichelte Linien laufen auf der Rückseite

Fläche mit Wulff Netz19.svg

Abbildung 46: Zurückdrehen auf 0° zeigt die Lage im Raum

Fläche mit Wulff Netz20.svg

Abbildung 47: Darstellung der Fläche in 2 D

Fläche mit Wulff Netz21.svg

Abbildung 48: Darstellung ähnlicher Fläche in 3 D

Fläche mit Wulff Netz22.svg

Quellen:

Borchardt-Ott, W. and Sowa, H. (2018) Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie. doi: 10.1007/978-3-662-08225-6_13. Joshuardavis, W. (no date) File:Wulffnet.svg - Wikimedia Commons. Available at: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wulffnet.svg (Accessed: 17 March 2021). Reuther, C.-D. (2012) Grundlagen der Tektonik, Grundlagen der Tektonik. doi: 10.1007/978-3-8274-2724-3. Well, N. van (2020) Allgemeine Mineralogie. doi: 10.1524/zkri.1956.107.3.240.