Schmidtsche Netz

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== Das Schmidt’sche Netz & das Wulffsche Netz Stereographische Projektionen (Stereonetze) ==

Die durch Streichen, Fallen, Fallrichtung und Abtauchrichtung definierten Raumlagen (3-D) von Trennflächen und Linearen werden zur Analyse von Tektonische Strukturen mit Hilfe der sphärischen Projektion zwei-dimensional abgebildet.

Um sich das vorzustellen, nimmt man eine Halbkugel durch deren Zentrum die Fläche oder das Linear verläuft. In der Geologie werden diese Flächen in die untere Hälfte der Kugel projiziert und so die Schnittbeziehungen mit dem Kugelmantel ausgewertet. Hier wird das flächentreue Stereonetz oder Schmidt`sches Netz verwendet. So eignet sich das flächentreue Stereonetz oder Schmidt'sches Netz besonders zur Bestimmung von statistischen Schnittlinien von verschiedenen Flächensystemen. In der Kristallographie wird vor allem das winkeltreue oder Wulffsches Netz zur räumlichen Darstellung von Kristallachsen, -winkeln und Flächen verwendet, dazu aber später.

Abbildung 1: Projektion von Linearen und Flächen in der unteren Lagenkugelhälfte (Bildrechte: verändert nach EISBACHER 1996).

Trennflächen und Lineare Mit dem Oberbegriff Trennflächen werden in der Geologie zusammengefasst, welche die gestaltliche und/oder die mechanische Kontinuität eines Felskörpers (Gebirges) unterbrechen (Murawski und Meyer, 2009). Beispiele für Trennflächenarten sind Kluftflächen, Störungsflächen, Schicht(ungs)flächen, Schieferungsflächen (ebd.) sowie Flächen von Faltenschenkeln. Lineare Gefügeelemente auf Trennflächen werden als Lineationen bezeichnet. Lineationen erkennt man an der parallelen Anordnung von linearen Eigenschaften (den sogenannten Linearen) in einem Gestein. Beispiele hierfür sind Wegspuren von Fossilien, Gleitstriemungen (Harnische), Fließlinien von Magma, die parallele Orientierung von Kornachsen oder Faltenachsen (Abbildung 1). Lineare entstehen entweder durch mechanische Kritzung (Gleitstriemung) oder durch den Schnitt mehrerer Trennflächen (Murawski und Meyer, 2009). Abbildung 1 analysiert beispielhaft die Geometrie einer Falte. Die Faltenachse zeichnet das Schnittlinear der gekrümmten Faltenschenkel mit der planaren Achsenfläche nach.

Abbildung 2: Geometrische Analyse einer Falte. Die Faltenachse repräsentiert das Schnittlinear der planaren Achsenfläche mit den gekrümmten Faltenschenkeln So bildet die Schnittlinie zwischen einer Fläche und der Kugeloberfläche einen Großkreis, der auf die Äquatorebene projiziert ist. So fällt der Mittelpunkt eines Großkreises immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen. Errichtet man eine Normale, die senkrecht zur Fläche im Kugelmittelpunkt ist, so durchstößt diese Senkrechte den Kugelmantel an einem Polpunkt. Dieser wird auch als Flächenpol bezeichnet. Ein Linear projiziert man, indem man diesen Polpunkt mit dem Mittelpunkt des Stereonetzes verbindet.

In diesem Fall wird jetzt nur die flächentreue Projektion behandelt, da sich diese für statistische Auswertungen von planaren und linearen geologisch-tektonischen Elementen besonders eignet.

Graphisch werden die tektonischen Daten auf einem Gradnetz, dessen Netzlinien sich aus der flächentreuen Polbezogenen Projektion der Lagenkugel mit den sich in den Polen schneidenden Längenkreisen (Großkreise) und parallelen Breitenkreisen (Kleinkreise) ergeben, dargestellt.

So wird in homogenen tektonischen Bereichen durch das Einmessen der Flächen und Linearen deren statistische Orientierung ermittelt. So zeigt die Streuung der Flächenpole oder die Duchstoßpunkte der Lineare die bevorzugte Orientierung der planaren und linearen Elemente in der untersuchten Region an (Reuther, 2012).

BEISPIEL aus dem Gelände Möglichkeiten der stereographischen Projektion: Stereonetze – Schmidt´sches Netz und Wulffsches Netz

Als Gradnetze der stereographischen Projektion sind sowohl das Schmidt´sche Netz als auch das Wulffsche Netz gebräuchlich. Im Gegensatz zum winkeltreuen Wulff ‘schen Netz ist das Schmidt´sche Netz flächentreu. Abbildung 3 stellt diese unterschiedlichen Stereonetze gegenüber. Beispiele für Gefügeelemente, die im Schmidt´schen Netz eingezeichnet werden, sind in Kapitel »Trennflächen und Lineare« aufgeführt. Das Schmidt´sche Netz eignet sich hervorragend für die statistische Verteilung von tektonischen Raumlagewerten. Das Wulffsche Netz dient v.a. der Darstellung von Kluftkörpern (Tondera, Lehrmaterial. Ingenieurgeologische Übungen II) und wird auch in der Kristallographie verwendet.





Abbildung 3: Gegenüberstellung zweier unterschiedlicher Stereonetze: Im Gegensatz zum winkeltreuen Wulff ‘schen Netz (rechts) ist das Schmidt´sche Netz (links) flächentreu. Manuelle Eintragung von Flächen und Linearen in das Schmidt'sche Netz

Zubehör: ein ausgedrucktes Netz, Transparentpapier, einen Reißnagel, Bleistift und Radiergummi.

Vorbereitung: Durch den Mittelpunkt des Schmidt'sche Netzes und das Transparentpapier (Oleate genannt) drückt man von unten einen Reisnagel und befestigt somit die Oleate drehbar. Im Nächsten Schritt werden die Himmelsrichtungen und der Außenkreis auf das Transparentpapier durchgepaust.

Im Folgenden einige Beispiele:

Eintragen einer Fläche als Großkreis mit dem Streichwert. Raumlage: 40/50 SE


Abbildung 4: Zuerst markiert man die Streichrichtung 40° am Außenrand.


Abbildung 5: Dann wird der Nordpol der Oleate über dem feststehenden Schmidt'schen Netz soweit gegen den Uhrzeigersinn nach links gedreht, bis er über der Streichrichtung der einzutragenden Fläche zum Liegen kommt (hier im Beispiel 40°).


Abbildung 6: Im nächsten Teilschritt wird über der E-W Achse des Netzes auf der Oleate vom Rand (0°) zum Mittelpunkt (90°) hin die 50° abgetragen. Da die Einfallsrichtung SE entspricht wird diese in diesem Sektor des Netzes eingetragen.

Abbildung 7: Dann wird der markierte Punkt auf die Oleate mit dem N - und S-Pol des Netzes durch einen Großkreis verbunden.


Abbildung 8: Im letzten Schritt dreht man die Oleate, bis ihr Nordpol, mit dem des Netzes zur Deckung kommt. Jetzt schneidet die Flächenspur (40/50 SE) auf die Oleate den Außenkreis des Netzes bei 40° im NE-Sektor und bei 220° im SW-Sektor. Beachte, je steiler die Fläche einfällt, desto mehr nähert sie sich dem Mittelpunkt des Netzes. Und umso flacher sie einfällt, je weiter wandert die Flächenspur zum Außenkreis.

Beispiel 2: Eintragen einer Fläche als Großkreis mit dem Clar-Wert: 130/50


Abbildung 9: Im ersten Schritt wird die Einfallsrichtung auf die Oleate markiert (130° von N nach S abzählen).


Abbildung 10: im zweiten Schritt wird diese Markierung auf die E-W Achse gedreht, bis die Markierung über der E-Richtung des Netzes liegt.


Abbildung 11: Von dort aus wird der Einfallswinkel vom Außenrand des Netzes nach innen abgetragen und mit X markiert (X = Durchstoßpunkt der Falllinie der Fläche, 50° nach innen abzählen).


Abbildung 12: Für den Flächenpol werden von X auf der E-W Achse über den Mittelpunkt 90° abgezählt und ein weiterer Punkt 0 markiert (0 = Durchstoßpunkt der flächennormale = Flächenpol). Man kann die Flächenpole direkt eintragen, indem man den Wert des Einfallswinkels (nach dem Drehen auf die E-W Achse) vom Mittelpunkt aus auf die gegenüberliegende Seite abzählt).

Abbildung 13: Als vorletzter Schritt wird der Großkreise durch X eingetragen, so erhält man dann die Flächenspur.


Abbildung 14: Zum Schluss dreht man die Oleate wieder in die Ausgangslage. Die Flächenspur 130/50 auf der Oleaten trifft den Außenkreis des Netzes bei 40° im NE-Sektor und bei 220° im SW- Sektor.


Beispiel 3: Ermittlung einer Faltenachse aus den Clarwerten 120/60 und 250120 Hier gibt es zwei Möglichkeiten:

Aus Großkreisen:


Abbildung 15: Die Großkreise zeichnet man analog zum Vorherigen Beispiel 2). Im Schnittpunkt der Großkreise markiert man den ß-Punkt (gelb). Dieser Punkt ist der Durchstoßpunkt der Faltenachse B.


Abbildung 16: Dreht man den β-Punkt (gelb) auf die E-W Achse und markiert den Rand mit einem Strich ist die Raumlage des Schnittpunkts ablesbar. Den Einfallswinkel der Faltenachse erhält man dann, wenn man vom Rand bis zum ß-Punkt (gelb) abzählt (hier 14°).


Abbildung 17: Durch Drehen der Oleate in die Ursprungslage, zeigt die Markierung am Außenrand die Einfallsrichtung der Faltenachse an (hier 202°). So ergibt sich für die Raumlage des Schnittpunktes der Clarwert 202/14.

Aus Flächenpolen:Man zeichnet zuerst wieder die Flächenpole wie in Beispiel 2. Abbildung 18: Wenn man die Flächenpole gezeichnet hat, dreht man die Oleate über das Netz, bis sie einen gemeinsamen Nord-Süd-verlaufenden Großkreis schneiden. Diesen zeichnet man dann ein. Diesen Kreis bezeichnet man als π-Kreis. Der Polpunkt zu diesem Kreis kann ermittelt werden und entspricht dem β-Punkt (gelb).

Abbildung 19: Die Ermittlung der Raumlage des ß-Punktes verläuft analog zu oben.


Abbildung 20: Die Faltenachse aus den Clarwerten 120/60 und 250120

Quellen: Reuther, C.-D. (2012) Grundlagen der Tektonik, Grundlagen der Tektonik. doi: 10.1007/978-3-8274-2724-3.

Das Wulffsche Netz In der Kristallographie benutzt man das Wulffsche Netz (benannt nach dem Kristallograph George V. Wulff, 1863–1925) zur Beschreibung der Kristallmorphologie, da es winkeltreu ist. Mit dessen Hilfe ist es möglich, den Kristall mit den gemessenen Winkeln als geometrisches Gebilde zu konstruieren. So kann man mit Hilfe der stereographischen Projektion die Winkel, Flächen und Kanten, ebenso wie die Symmetrie übersichtlich darstellen. Die stereografische Projektion mithilfe des winkeltreuen Wulffschen Netzes ermöglicht (Abb. 21), gemäß dem Gesetz der Winkelkonstanz für Kristallflächen, eine verzerrungsfreie Darstellung des Kristalls. So erleichtert die Anwendung eines Gradnetzes den Umgang mit der stereographischen Projektion. Man dreht eine Kugel mit Längen- und Breitenkreisen so, dass die Achse Zenit-Nadir in der Projektionsebene liegt und dann die Längen- und Breitenkreise auf die Projektionsebene projiziert werden. Die N-S-Richtung der stereographischen Projektion steht also senkrecht auf der N‘-S‘-Richtung des Gradnetzglobus bzw. des Wulffschen Netzes (vgl. Abb. 4 und 5)

Abbildung 21: Winkeltreues Wulffsches Netz (Joshuardavis, 2020) Die Längenkreise entsprechen hier den Großkreisen, auf welchen die Zonenverbände eingetragen werden können. Die Breitenkreise (Kleinkreise) mit Ausnahme des Äquators sind aber keine Großkreise.

Abbildung 22: Galenitkristall im Zentrum einer Kugel. Die Flächennormalen des Kristalls schneiden die Kugeloberfläche in Flächenpolen, die auf Großkreisen liegen (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).


Abbildung 23: Stereographische Projektion des Gradnetzes eines Globus (N‘-S‘ steht senkrecht zu N-S) erzeugt das Wulffsche Netz. Lage der Winkelkoordinaten φ (Azimut) und ρ (Poldistanz). Der Flächenpol P liegt auf φ = 90°, ρ=30° (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

In Abbildung 5a) ist das Gradnetz einer Halbkugel berücksichtigt. Hier sind alle Längenkreise und der Äquator der Kugel Großkreise. Sämtliche Breitenkreise außer dem Äquator der Kugel sind Kleinkreise. Daher kann der Winkel zwischen 2 Flächenpolen auf der Kugeloberfläche mithilfe des Wulffschen Netzes direkt in die stereographische Projektion eingetragen werden. Dabei entspricht der zwischen 2 Kristallflächen gemessene Winkel, dem Winkel der beiden Flächennormalen (Flächenpolen). So bilden die beiden Normalen die Ebene eines Großkreises (Abb. 4). Der gemessenen Winkelwert (gemessen zum Beispiel mit dem Goniometer) entspricht dem Kreisbogen des Großkreises zwischen den beiden Flächennormalen. In der stereographischen Projektion dürfen deshalb die Winkel nur auf Großkreisen abgetragen/abgelesen werden. Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion.

Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben. So wählt man den Kreis der Ebene der stereographischen Projektion als Azimut φ. Die φ-Werte reichen von 0° - 360°. Demnach hat die nach vorne weisende Fläche der tetragonalen Pyramide einen φ-Wert von 90°. Der ρ-Kreis steht also senkrecht auf dem φ-Kreis. So ergeben sich für die Flächen der tetragonalen Pyramide folgende Winkelkoordinaten: φ = 0°, 90°, 180°, 270° und für alle Flächen den gleichen ρ-Wert.

Abbildung 24: Stereographische Projektion einer tetragonalen Pyramide und Pedion. Für eine Pyramidenfläche sind die Winkelkoordinaten φ und ρ angegeben (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

Bei Betrachtung einer tetragonalen Dipyramide liegen folgende Werte für die Winkelkoordinaten der 8 Flächen vor: wie oben φ = 0°, 90°, 180°, 270° und ρ und -ρ.

Bei den zur Nordhalbkugel gehörenden Flächen bezieht man sich bei der Poldistanz ρ auf den Nordpol, bei den Flächen der Südhalbkugel auf den Südpol (-ρ); ρ≤ ±90° (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).

Gezeichnet wird analog zu dem Schmidt’schen Netz mit Hilfe von Transparenzpapier. Aber im Gegensatz zum Schmidt’schen Netz zeichnet man hier auf der oberen Hälfte der Kugel.

Bei der stereographische Projektion gibt es zwei wichtige Eigenschaften:

Zwei Richtungen der stereographischen Projektion auf der Kugel schließen denselben Winkel, wie eben diese Richtungen auf der Kugel ein. Sie ist daher winkeltreu. Die Längen- und Breitenkreise des Globusnetzes stehen zueinander senkrecht. Die Groß- und Kleinkreise des Wulff ’schen Netzes müssen senkrecht aufeinander stehen, da das Wulffsche Netz die Projektion dieser Kreise darstellt (vgl. Abb. 5). Die Kreise auf der Kugel (Groß- und Kleinkreise) werden wieder als Kreise oder Kreisbögen auf die Äquatorebene projiziert (vgl. auch Abb. 7). Als Geraden werden die Großkreise abgebildet, die die N-S-Richtung schneiden. Die stereographische Projektion ist somit auch kreistreu (Borchardt-Ott and Sowa, 2018).


Abbildung 25: Die stereographische Projektion eines Kreises auf der Kugeloberfläche erzeugt auf der Äquatorebene wieder einen Kreis (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018). Die 2 Eigenschaft kann man mit folgender Überlegung belegen. Man nehme einen Kreis auf der Kugeloberfläche mit einem Radius von 30°, nimmt das Wulffsche Netz und legt einen Pol M fest. Dann konstruiert man den geometrischen Ort für alle die Pole, die von M 30° entfernt sind. Durch Drehung des Transparentpapiers werden auf den Großkreisen von M aus die Winkel von 30° abgetragen. Die so konstruierten Pole kommen alle auf der Peripherie eines Kreises zu liegen. Allerdings ist M nicht der Mittelpunkt dieses Kreises, den Kreismittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch eine Halbierung der Strecke K1K2 (vgl. Abb.8)

Abbildung 26: Ausschnitt der Äquatorebene einer stereographischen Projektion. Vom Pol M sind Winkel von 30° abgetragen. Die konstruierten Pole liegen auf der Peripherie eines Kreises. Den Mittelpunkt M‘ des Kreises erhält man durch Halbierung der Strecke K1K2 (nach Vorlage Borchardt-Ott and Sowa, 2018). Quellen Borchardt-Ott, Sowa, H. (2018) Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie. doi: 10.1007/978-3-662-08225-6_13.

Zeichnen einer Fläche mit dem Wulffschen Netz Die Folgenden Abbildungen beschreiben, wie man eine Fläche mit dem Wulffschen Netz zeichnet (Well, 2020):


Abbildung 27: Angabe der Koordinaten

Abbildung 28: das leere Wulffsche Netz mit Transparentpapier

Abbildung 29: Festlegen von φ = 0°

Abbildung 30: Markieren von φ = 30°

Abbildung 31: Drehen von φ zum Äquator

Abbildung 32: ρ = 60° eintragen (Vom Kreismittelpunkt nach außen abzählen)

Abbildung 33: Drehen der Oleate auf φ = 0°

Abbildung 34: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher

Abbildung 35: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher

Abbildung 36: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher

Abbildung 37: Konstruktion von φ = 290° und ρ = 20° analog wie vorher

Abbildung 38: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher

Abbildung 39: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher

Abbildung 40: Konstruktion von φ = 10° und ρ = 110° analog wie vorher, aber Achtung: 110° => 90° von innen nach außen und dann 20° von außen nach innen

Abbildung 41: Zurückdrehen auf 0° und markieren der Flächenpole, Punkt C liegt auf der Rückseite des Kreises

Abbildung 42: Drehen bis A, B auf einem Großkreis liegen

Abbildung 43: Verbinden der Punkte AB

Abbildung 44: Drehen bis B, C auf einem Großkreis liegen. C wird gestrichelt dargestellt, da auf der Rückseite, analog für A, C

Abbildung 45: Alle Flächen sind verbunden, gestrichelte Linien laufen auf der Rückseite

Abbildung 46: Zurückdrehen auf 0° zeigt die Lage im Raum

Abbildung 47: Darstellung der Fläche in 2 D

Abbildung 48: Darstellung ähnlicher Fläche in 3 D Quellen:

Borchardt-Ott, W. and Sowa, H. (2018) Kristallographie - Eine Einführung für Studierende der Naturwissenschaften, Kristallographie. doi: 10.1007/978-3-662-08225-6_13. Joshuardavis, W. (no date) File:Wulffnet.svg - Wikimedia Commons. Available at: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wulffnet.svg (Accessed: 17 March 2021). Reuther, C.-D. (2012) Grundlagen der Tektonik, Grundlagen der Tektonik. doi: 10.1007/978-3-8274-2724-3. Well, N. van (2020) Allgemeine Mineralogie. doi: 10.1524/zkri.1956.107.3.240.