Symmetrien in der Kristallographie
Symmetrie bezeichnet die Eigenschaft eines Objektes oder Bausteins sich selbst an einem Punkt, oder entlang einer Achse, Kante oder Fläche abzubilden. In Kristallen wird die Kristallsymmetrie durch eine periodische Wiederholung und Anordnung von Atomen, Ionen, etc. gegeben. Man spricht dabei von der Fernordnung. Die Fernordnung mitsamt ihren Symmetrien ist im dreidimensionalen Raum dafür zuständig, dass sich Kristalle bilden. Das Aussehen (äußere Form) eines Kristalls ist oft durch seine Symmetrie bestimmt.
Bei idiomorphen Kristallen, kannst du schon über die Morphologie des Kristalls viel zu seinen Symmetrien feststellen. So ist zum Beispiel bei einem Apatit oder einem Beryll die sechszählige Drehung, bei einem Rutil die vierzählige Drehung erkennbar. In diesem Artikel wollen wir uns erarbeiten, was die Begriffe Symmetrieoperation und Symmetrieelement bedeuten und welche Symmetrieoperationen es gibt.
Symmetrieoperation
Unter einer Symmetrieoperation wird der Durchführungsprozess verstanden, weshalb es zu einer Symmetrie kommt. Dazu zählen Operationen wie Spiegelungen, Inversionen und Drehungen.
Translation
Unter einer Translation versteht man die Verschiebung bereits existierender Bausteine (z.B. Gitterpunkt, Atome und Moleküle) in eine oder mehrere (maximal drei) bestimmte Raumrichtungen. Eine Translation wird mit dem Buchstaben t dargestellt. Die Länge und Winkelrichtung der Verschiebung hängt vom Translationsvektor ab. Die Translation spielt unter anderem eine große Rolle bei der Bildung von Kristallgittern. Erfahre mehr darüber:
| Achtung: |
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Translationen besitzen keine Symmetrieelemente, da es weder zu einer (Punkt-)Spiegelung oder Drehung kommt. |
Spiegelung
Bei einer Spiegelung wird ein Baustein an einer Spiegelfläche (= Spiegelebene), oder einer Spiegelgeraden (= Spiegellinie) gespiegelt. Eine Spiegelung wird durch einen Strich und mit dem Buchstaben m dargestellt.
| Tipp: |
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Vergleicht man die Spiegelung eines Bausteins mit der zweizähligen Drehung des selben Bausteins, so erhält man bei symmetrischen Motiven kein unterschiedliches Ergebnis. Folglich liegt sowohl eine Spiegelung als auch eine zweizählige Drehung vor - also eine Kombination von Symmetrieoperationen. Haben die Bausteine jedoch ein asymmetrisches Motiv, ändert sich je nach Symmetrieoperation das Ergebnis. |
Gleitspiegelung
Die Gleitspiegelung ist eine Mischung aus Translation und Spiegelung. Die Spiegelung des Bausteins erfolgt zwischen dem Startpunkt und dem Endpunkt des einfachen Translationsvektors, meist bei t/2 (siehe Abbildung), selten auch bei t/4 (besondere Form diagonaler Gleitspiegelungen).
Um Gleitspiegelungen von Spiegelungen zu unterscheiden verwerdent man zur Darstellung einer Gleitspiegelung eine gestrichelte Linie, eine gepunktete Linie, oder einen Mix aus beiden. Gleispiegelungen entlang einer kristallographischen Achse werden entsprechend den drei Achsen mit den Buchstaben a, b und c gekennzeichnet.
Diagonale Gleitspiegelungen kommen bei tetragonalen und kubischen Kristallsystemen vor. Findet eine Spiegelung bei t/2 statt, wird die diagonale Gleitspiegelung mit dem Buchstaben n gekennzeichnet. Bei t/4 gilt d.
Drehung
Bei einer Drehung wird ein Baustein entlang eines Drehpunktes oder einer Drehachse um einen bestimmten Winkel gedreht. Dabei wird ein Baustein abhängig von der n-zähligen Drehung auch mehrfach wiederholt. Die zur Symmetrieoperation verwendeten Symbole findest du in der angehängten Tabelle.
- Bei einer einzähligen Drehachse wird ein Baustein um 360° (entspricht 0°) gedreht.
- Bei einer zweizähligen Drehachse wird ein Baustein zweimal bei einer Winkel 180° gedreht
- Bei einer dreizähligen Drehachse wird ein Baustein um 120° gedreht
- Bei einer vierzähligen Drehachse wird ein Baustein um 90° gedreht
- Verbindet man eine zweizählige Drehachse mit einer dreizähligen Drehachse, so enthält man eine sechszählige Drehachse (kleinster gemeinsamer Nenner). Bei der sechszeiligen Drehung wird ein Baustein um 60° gedreht.
| Beachte: |
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Eine fünfzählige und eine siebenzählige Drehung gibt es nicht, da sie kristallgeometrisch ungünstig sind. |
- n-zählige Drehachsen
2-zählige Drehachse
3-zählige Drehachse
4-zählige Drehachse
6-zählige Drehachse
Schraubung
Eine Schraubung verbindet eine zweizählige, dreizählige, vierzählige oder sechszählige Drehung mit einer Translation entlang einer Achse (Schraubenachse). Die Schraubung kann zum Beispiel im Uhrzeigersinn, also rechtsdrehend (Abbildung 2. Darstellung) verlaufen, gegen den Uhrzeigersinn, also linksdrehend (Abbildung 3. Darstellung) verlaufen sowie auch neutral (Abbildung 4. Darstellung) vorliegen.
Inversion (Punktspiegelung)
Bei einer einzähligen Inversion wird ein Baustein an einem Punkt (und keiner Fläche oder Linie) gespiegelt. Das kleine i ist das Symbol einer Inversion und steht für Inversionszentrum (= Inversionspunkt). Ist eine einzählige Inversion in einem Kristall vorhanden, so hat es zur Folge, dass jede Kristallfläche ein äquivalente parallele Komplementärfläche besitzt. Die einzählige Drehinversion wird mit −1 (ausgeprochen "eins-quer") dargestellt.
Die Inversion wird auch zu den Drehinversionen gezählt und besitzt eine einzählige Drehinversionsachse auf der auch das Inversionszentrum liegt. Der Drehwinkel beträgt bei der Inversion 360°. Folglich gelangt unser Baustein durch die 360°-Drehung zum Ausgangspunkt zurück.
Drehinversion
Die Drehinversion verbindet eine n-zählige Drehung mit einer Punktspiegelung. Bei einer einzähligen Drehinversionsachse mit einer Drehung von 360° ist der Ausgangspunkt gleich dem Startpunkt der Drehung. Somit kommt es "nur" noch zur Inversion.
Bei zwei- oder mehrzähligen Inversionen geht die parallele Symmetrie der Komplementärflächen verloren. Dennoch besitzen punktgespiegelte Kristallflächen weiterhing äquivalente Flächen. In der nachfolgenden Abbildung sind die Symbole der Drehinversion abgebildet.
Kristallgitter und Kristallstrukturen
| Tipp: |
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Hier erfährst du wie die Symmetrie eines Kristalls abhängig von seinem Kristallgitter und seiner Kristallstruktur erniedrigt werden kann. Dieser Abschnitt stammt aus den Artikeln Kristallgitter, Punktgitter und Translationsgitter sowie Kristallstruktur. |
Kristallgitter sehen nicht immer gleich aus. Im einfachsten Fall sind die Längen a, b und c gleich lang (a = b = c) und die Winkel α, β, und γ gleich 90° (α = β = γ = 90°). Der hier beschriebene Fall entspricht dem kubischen Kristallsystem. Längen und Winkel können aber auch abweichen und damit das Kristallgitter verzerren. So entstehen weitere Kristallsysteme. Insgesamt gibt es 7 Kristallsysteme: kubisch, tetragonal, hexagonal, trigonal, orthorhombisch, monoklin und triklin. Beim tetragonalen Kristallsystem haben die Winkel weiterhin 90° und auch die Längen a und b sind gleich groß. Sie entsprechen aber nicht mehr der Länge c. In einem triklinen Kristallsystem sieht es nochmal ganz anders aus. Keine der Längen a, b und c ist gleich lang und auch die Winkel sind unterschiedlich groß. Betrachtet man das kubische, das tetragonale und das trikline Kristallsystem genauer, so fällt auf, dass im kubischen Fall mehr Symmetrieoperationen vorherrschen als im tetragonalen Kristallsystem. Die triklinen Kristallsysteme haben deutlich weniger Symmetrieoperationen.
Es wird klar: Mit zunehmender Abweichung der Gitterkonstanten und damit einer zunehmenden Verzerrung des Kristallgitters wird die Symmetrie erniedrigt.
Durch den Einbau von Bausteine (Atome und Moleküle) in einem Kristallgitter entsteht eine Kristallstruktur. Diese Bausteine können ebenfalls die Symmetrie einer Kristallstruktur negativ beeinflussen, sie also erniedrigen. Zur Veranschaulichung schauen wir uns nachfolgende Abbildungen (in Bearbeitung) an. In der ersten Abbildungen besteht das Kristall aus nur einem Element. Das Kristallgitter der zweiten Abbildung entspricht genau der ersten. Jedoch wird dieses Kristall aus zwei Elementen aufgebaut. Die Verteilung ihrer Atome erkennst du an den zwei Farben. Bei genauer Betrachtung wird klar, dass einige Symmetrieoperationen entfallen. Die Symmetrie der Kristallstruktur ist gleich oder niedriger als die des Kristallgitters.
Es wird klar: Eine Kristallstruktur ist ein dreidimensionales Gitter, das mit Atomen und Molekülen besetzt ist. Die Symmetrie einer Kristallstruktur ist abhängig von der Symmetrie des Kristallgitters und kann durch den Einbau von Bausteinen weiterhin erniedrigt werden.-->
Referenzen
Markl G. (2004): Minerale und Gesteine - Eigenschaften - Bildung - Untersuchung.
Klein, C., Philpotis, A., (2013): Earth Materials - Introduction to Mineralogy and Petrology, Cambridge University Press, 1254 p.
Autor:innen
- Dieser Artikel wurde geschrieben und gegengelesen von:
- Phil Lavorel
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